Lösningsförslag på problem 2:
Fråga 1:
Säg att det vi behöver F(x) förflyttningar om vi har x klossar. Vi noterar först att för att flytta sista klossen så måste vi först flytta alla utom sista klossen till mitten pinnen. Det tar F(x-1) förflyttningar. Sedan flyttar vi sista klossen vilket ger ytterligare 1 förflyttning. Nu måste vi flytta alla på mitten pinnen till sista pinnen vilket tar F(x-1) förflyttningar så vi ser att F(x)=2F(x-1)+1. Det är lätt att se att F(1)=1 och vi kan också konstatera att F(x)=2^(x)-1. Den bästa strategin är att lätt att hitta genom att följa resonemanget i hur många förflyttningar man behöver men man måste se till så att man bygger tornen på rätt pinne. För 50 klossar får vi lösningen F(50)=2^(50)-1 vilket är ett tal i storleksordningen 10^15. Om man gjorde en förflyttning varje sekund skulle det ta ungefär 100000 generationer att bli färdig.
Fråga 2:
Vi noterar att precis som i fråga ett måste vi först lägga alla klossar utom den sista på pinnarna i mitten. Vi låter F(x,k)=[antal förflyttningar för x klossar på k pinnar]. Vi noterar (som i fråga 1) att F(x,k)=2(F(x_1,k)+F(x_2,k-1)+...+F(x_m,3))+1 eftersom vi måste bygga k-2 torn och för varje torn vi byggt upp så har vi en pinne mindre att bygga de övriga på. Vi noterar också att om k>x få är F(x,k)=2x-1. Läsaren kan bekräfta detta själv genom att lägga ut klossarna på en rad istället för på höjd. Om vi har x=k så börjar vi med att lägga ut de k-2 första klossarna på rad, en på varje pinne. Sedan flyttar vi den minsta (till den näst minsta exempelvis) och lägger ut den näst största. Vi kommer fram till att vi flyttar den största klossen 1 gång, den minsta 4 gånger och övriga 2 gånger. Med en kloss mer än ser vi att F(k,k)=F(k-1,k)+4. Vi tittar på specialfallet k=4 och konstaterar att F(1,4)=1, F(2,4)=3 och F(3,4)=5 men F(4,4)=4+F(3,4)=9 så vi lägger till 2 två gånger. Vi ser också att F(5,4)=4+F(4,4) och F(6,4)=4+F(5,4) men F(7,4)=8+F(6,4). Vi lägger alltså till 4 tre gånger och vi kommer lägga till 8 fyra gånger, 16 fem gånger osv. Att det är så kan vi se i pascals triangel:
pascal.jpg
Pascals triangel fungerar så att de två talen ovanför läggs ihop till talet under. Vi kan se att vi lägger till 2 två gånger och sedan kan vi bygga upp ett torn med höjd 3 och ett med höjd 2. Vi får F(6,4)=2(F(3,4)+F(2,3))+1=2(2*3-1+2*2-1)+1=2(5+3)+1=17. Om vi lägger till en kloss till får vi F(7,4)=2(F(3,4)+F(2,3)+4)+1=17+8. Tornet med höjd 3 motsvaras i pascals triangel av summan längs den röda diagonalen (4 då vi studerar 4 pinnar) alltså 1+2. Vi befinner oss då på den andra blå diagonalen men vi måste göra denna förflyttning 2 gånger. Likaså kan vi bygga upp ett torn med höjd två på de tre pinnar som är kvar vilket motsvarar 1+1 längs den första röda diagonalen (3 diagonalen) så att den också hamnar på den andra blå diagonalen. Om vi lägger till en kloss måste ett torn ner på den tredje blå diagonalen och när vi fyllt den tredje diagonalen måste vi ner på den fjärde osv. För fem pinnar eller mer kan man resonera på samma sätt och lägga ihop tal i pascals triangel. Man kan visa att det stämmer med
matematisk induktion (som går ut på att man visar att man kan fortsätta ett påbörjat mönster) utifrån det vi har lärt oss om specialfallet med 4 pinnar. Man kan annars bara räkna ihop hur många förflyttningar som krävs och se att det stämmer med pascals triangel om man vill undvika ett induktionsbevis. Läsaren får själv räkna ut hur många förflyttningar det krävs om man har 50 klossar och k pinnar.
Om ni har frågor på detta så fråga på. Fråga 2 är ganska seriös matematik och jag har försökt förklara så pedagogiskt jag kan men det kanske inte är så lätt att följa i alla fall.